Квадратні числа
![Квадратні числа](/media/images/perfect_squares.webp)
Багато хто з нас знає поняття «квадрат числа». Напевно, ви чули його колись давно під час уроків математики в середній школі. Однак, якщо це поняття — лише невелика частина великої і по-справжньому цікавої теми? Розкриємо деякі подробиці.
Що таке повний квадрат
Повним квадратом називають ціле число, яке є квадратом цілого числа. Іншими словами, повний квадрат — добуток двох рівних цілих чисел. Виходячи з визначення квадратний корінь з повного квадрата витягується націло, тому геометричним втіленням повного квадрата є площа квадрата зі стороною, вираженою цілим числом, рівним квадратному кореню з вихідного повного квадрата.
Для більш точного розкриття теми нагадаємо визначення цілих чисел. Цілими називають всі натуральні (які використовуються для підрахунку предметів) і протилежні їм числа та нуль. Відповідно, безліч цілих чисел не включає кінцеві або нескінченні дроби і комплексні числа.
Прикладами повних квадратів є, наприклад, такі числа: 9 (квадрат числа 3), 49 (квадрат числа 7), 676 (квадрат числа 26). А ось число 15 не може бути представлене у вигляді добутку двох рівних цілих чисел, тому не є повним квадратом.
Цікаво, що поняття повного квадрата може бути розширене включенням до розгляду, наприклад, раціональних чисел. У такому випадку повним квадратом називають дріб, що є відношенням двох квадратних цілих чисел.
Про фігурні числа
Повний квадрат — найпоширеніший приклад класичного фігурного числа, тобто числа, графічне вираження якого можна здійснити з допомогою геометричних фігур. Поняття фігурних чисел виникло, за оцінками дослідників, ще VI–IV століттях до нашої ери має прямий стосунок до піфагорійцям. Давньогрецькі філософи пізнавали алгебру, багато в чому спираючись на геометричні основи, тому натуральним числам ставили у відповідність набір точок на площині та просторі. Власне, сама назва «повний квадрат» завдячує своєю появою саме цьому підходу до вивчення математики.
Фігурні числа зазвичай узагальнюються на багатовимірні простори. Наприклад, на площині фігурні числа за певними правилами пов'язують із багатокутниками, а у тривимірному просторі їм ставлять у відповідність різні багатогранники.
Піфагорійці надавали великої значущості та величі поняття фігурних чисел, тому їх вивченням займалися такі відомі античні математики, як, наприклад, Діофант Олександрійський, Гіпсікл Олександрійський та Ератосфен Кіренський. Осмислення та структурування теорії фігурних чисел присвячувалися цілі наукові праці та дослідження. Так, до нашого часу збереглися фрагменти книги Діофанта Олександрійського «Про багатокутні числа», написану, за деякими оцінками, у III столітті до нашої ери.
До речі, фігурні числа цікавили не лише античних математиків. Ними займалися і багато математиків середньовіччя — Джероламо Кардано, Фібоначчі, і навіть великі вчені нового часу — Леонард Ейлер, Жозеф Луї Лагранж, П'єр де Ферма, Карл Фрідріх Гаус.
Таким чином, тема фігурних чисел, у тому числі їх яскравих представників — повних квадратів, привертає увагу математиків ще з давніх-давен.