Таблица квадратов натуральных чисел

Многим из нас знакомо понятие «квадрат числа». Наверняка, вы слышали его когда-то давно на уроках математики в средней школе. Однако, что если это понятие — лишь небольшая часть обширной и по-настоящему интересной темы? Раскроем некоторые подробности.

Что такое полный квадрат

Полным квадратом называют целое число, которое является квадратом целого числа. Иными словами, полный квадрат — произведение двух равных целых чисел. Исходя из определения, квадратный корень из полного квадрата извлекается нацело, поэтому геометрическим воплощением полного квадрата является площадь квадрата со стороной, выраженной целым числом, равным квадратному корню из исходного полного квадрата.

Для более точного раскрытия темы напомним определение целых чисел. Целыми называют все натуральные (использующиеся для подсчёта предметов) и противоположные им числа и ноль. Соответственно, множество целых чисел не включает в себя конечные или бесконечные дроби и комплексные числа.

Примерами полных квадратов являются, например, следующие числа: 9 (квадрат числа 3), 49 (квадрат числа 7), 676 (квадрат числа 26). А вот число 15 не может быть представлено в виде произведения двух равных целых чисел, поэтому не является полным квадратом.

Интересно, что понятие полного квадрата может быть расширено включением в рассмотрение, например, рациональных чисел. В таком случае полным квадратом называют дробь, представляющую собой отношение двух квадратных целых чисел.

О фигурных числах

Полный квадрат — наиболее распространенный пример классического фигурного числа, то есть числа, графическое выражение которого может быть осуществлено с помощью геометрических фигур. Понятие фигурных чисел возникло, по оценкам исследователей, ещё в VI–IV веках до нашей эры и имеет прямое отношение к пифагорейцам. Древнегреческие философы познавали алгебру, во многом опираясь на геометрические основы, поэтому натуральным числам ставили в соответствие набор точек на плоскости и в пространстве. Собственно, само название «полный квадрат» обязано своим появлением именно этому подходу к изучению математики.

Фигурные числа традиционно обобщаются на многомерные пространства. Например, на плоскости фигурные числа по определенным правилам связывают с многоугольниками, а в трехмерном пространстве им ставят в соответствие различные многогранники.

Пифагорейцы придавали большую значимость и величие понятию фигурных чисел, поэтому их изучением занимались такие известные античные математики, как, например, Диофант Александрийский (Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς), Гипсикл Александрийский (Ὑψικλῆς ὁ Ἀλεξανδρεύς) и Эратосфен Киренский (Ἐρατοσθένης ὁ Κυρηναῖος). Осмыслению и структурированию теории фигурных чисел посвящались целые научные труды и исследования. Так, до нашего времени сохранились фрагменты книги Диофанта Александрийского «О многоугольных числах», написанной, по некоторым оценкам, в III веке до нашей эры.

К слову, фигурные числа интересовали не только античных математиков. Ими занимались и многие математики средневековья — Джероламо Кардано (Gerolamo Cardano), Фибоначчи (Leonardo Pisano), и даже великие учёные нового времени — Леонард Эйлер (Leonhard Euler), Жозеф Луи Лагранж (Joseph Louis Lagrange), Пьер де Ферма (Pierre de Fermat), Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauß).

Таким образом, тема фигурных чисел, в том числе их ярких представителей — полных квадратов, привлекает внимание математиков ещё с древних времён.