Liczby kwadratowe
![Liczby kwadratowe](/media/images/perfect_squares.webp)
Wielu z nas zna pojęcie kwadratu liczby. Z pewnością słyszałeś to kiedyś na lekcjach matematyki w liceum. Co jednak, jeśli ta koncepcja to tylko niewielka część obszernego i naprawdę interesującego tematu? Ujawnijmy kilka szczegółów.
Co to jest pełny kwadrat
Doskonały kwadrat to liczba całkowita będąca kwadratem liczby całkowitej. Innymi słowy, idealny kwadrat to iloczyn dwóch równych liczb całkowitych. W oparciu o definicję pierwiastek kwadratowy pełnego kwadratu jest brany całkowicie, więc geometrycznym przykładem pełnego kwadratu jest pole kwadratu o boku wyrażonym jako liczba całkowita równa pierwiastkowi kwadratowemu pierwotnego pełnego kwadratu.
Aby dokładniej przedstawić temat, przypomnijmy sobie definicję liczb całkowitych. Liczby całkowite nazywane są wszystkimi naturalnymi (służącymi do liczenia obiektów) oraz ich liczbami przeciwstawnymi i zerem. W związku z tym zbiór liczb całkowitych nie obejmuje skończonych ani nieskończonych ułamków ani liczb zespolonych.
Przykładami idealnych kwadratów są na przykład następujące liczby: 9 (kwadrat liczby 3), 49 (kwadrat liczby 7), 676 (kwadrat liczby 26). Ale liczby 15 nie można przedstawić jako iloczynu dwóch równych liczb całkowitych, więc nie jest to idealny kwadrat.
Interesujące jest to, że pojęcie idealnego kwadratu można rozszerzyć na przykład na liczby wymierne. W tym przypadku pełny kwadrat to ułamek, który jest stosunkiem dwóch liczb całkowitych do kwadratu.
O liczbach kręconych
Pełny kwadrat to najczęstszy przykład klasycznej liczby figuratywnej, czyli liczby, którą można przedstawić graficznie za pomocą kształtów geometrycznych. Pojęcie liczb figuratywnych powstało według badaczy już w VI-IV wieku pne i jest bezpośrednio związane z pitagorejczykami. Starożytni greccy filozofowie uczyli się algebry, opierając się w dużej mierze na podstawach geometrycznych, więc liczby naturalne wiązano ze zbiorem punktów na płaszczyźnie iw przestrzeni. Właściwie sama nazwa „pełny kwadrat” zawdzięcza swój wygląd temu szczególnemu podejściu do studiowania matematyki.
Liczby figuralne są tradycyjnie uogólniane na przestrzenie wielowymiarowe. Na przykład na płaszczyźnie liczby kręcone są powiązane z wielokątami zgodnie z pewnymi regułami, aw przestrzeni trójwymiarowej z różnymi wielościanami.
Pitagorejczycy przywiązywali wielką wagę i wielkość do koncepcji liczb kręconych, dlatego ich badaniami zajmowali się tak znani starożytni matematycy, jak na przykład Diofant z Aleksandrii, Hypsikles z Aleksandrii i Eratostenes z Cyreny. Zrozumieniu i ustrukturyzowaniu teorii liczb kręconych poświęcono całe artykuły naukowe i badania. Tak więc do naszych czasów przetrwały fragmenty księgi Diofantosa z Aleksandrii „O liczbach wielokątnych”, napisanej według niektórych szacunków w III wieku pne.
Nawiasem mówiąc, liczby kręcone interesowały nie tylko starożytnych matematyków. Zajmowało się nimi także wielu matematyków średniowiecza: Gerolamo Cardano, Fibonacci, a nawet wielcy uczeni czasów nowożytnych - Leonard Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss.
Tak więc temat liczb kręconych, w tym ich najjaśniejszych przedstawicieli - pełnych kwadratów, od czasów starożytnych przyciągał uwagę matematyków.