Négyzetszámok
![Négyzetszámok](/media/images/perfect_squares.webp)
Sokan ismerjük a szám négyzetének fogalmát. Bizonyára hallottad egyszer a középiskola matematikaóráin. De mi van akkor, ha ez a koncepció csak egy kis része egy hatalmas és valóban érdekes témának? Elárulunk néhány részletet.
Mi az a teljes négyzet
A tökéletes négyzet olyan egész szám, amely egy egész szám négyzete. Más szóval, a tökéletes négyzet két egyenlő egész szám szorzata. A definíció alapján a teljes négyzet négyzetgyökét teljesen felvesszük, így a teljes négyzet geometriai megtestesülése egy olyan négyzet területe, amelynek oldala egész számként van kifejezve az eredeti teljes négyzet négyzetgyökével.
A téma pontosabb feltárásához emlékezzünk vissza az egész számok definíciójára. Az egész számokat természetesnek nevezzük (az objektumok számlálására használják), ellentétes számoknak és nullának. Ennek megfelelően az egész számok halmaza nem tartalmaz véges vagy végtelen törteket és komplex számokat.
Példák a tökéletes négyzetekre a következő számok: 9 (a 3-as négyzete), 49 (a 7-es négyzete), 676 (a 26-os négyzet). De a 15-ös szám nem ábrázolható két egyenlő egész szám szorzataként, tehát nem tökéletes négyzet.
Érdekes, hogy a tökéletes négyzet fogalma kiterjeszthető például racionális számokra is. Ebben az esetben a teljes négyzet egy tört, ami két négyzetes egész szám aránya.
A göndör számokról
A klasszikus figuratív számok leggyakoribb példája a teljes négyzet, azaz olyan szám, amely geometriai alakzatokkal grafikusan kifejezhető. A figuratív számok fogalma a kutatók szerint már az időszámításunk előtti 6-4. században felmerült, és közvetlenül kapcsolódik a pitagoreusokhoz. Az ókori görög filozófusok nagyrészt geometriai alapokra támaszkodva tanulták az algebrát, így a természetes számokat a síkon és a térben lévő pontok halmazához társították. Valójában maga a „teljes négyzet” elnevezés a matematika tanulmányozásának e sajátos megközelítésének köszönhető.
A számszerű számokat hagyományosan többdimenziós terekre általánosítják. Például egy síkon a göndör számok bizonyos szabályok szerint sokszögekhez, háromdimenziós térben pedig különféle poliéderekhez vannak társítva.
A püthagoreusok nagy jelentőséget és nagyszerűséget tulajdonítottak a göndör számok fogalmának, ezért olyan jól ismert ókori matematikusok foglalkoztak vele, mint például Alexandriai Diophantus, Alexandriai Hypsicles és cirénei Eratoszthenész. Egész tudományos közleményeket és tanulmányokat szenteltek a göndör számok elméletének megértésének és felépítésének. Tehát az Alexandriai Diophantus „A sokszögű számokról” című könyvének töredékei, amelyeket egyes becslések szerint a Krisztus előtti 3. században írtak, napjainkig fennmaradtak.
A göndör számok egyébként nem csak az ókori matematikusokat érdekelték. A középkor számos matematikusa is foglalkozott velük: Gerolamo Cardano, Fibonacci, sőt a modern idők nagy tudósai is - Leonard Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss.
Így a göndör számok témája ősidők óta felkeltette a matematikusok figyelmét, beleértve a legfényesebb képviselőiket – a teljes négyzeteket.