Τετράγωνοι αριθμοί
Πολλοί από εμάς είναι εξοικειωμένοι με την έννοια του τετραγώνου ενός αριθμού. Σίγουρα, το έχετε ακούσει κάποτε στα μαθηματικά στο λύκειο. Ωστόσο, τι γίνεται αν αυτή η ιδέα είναι μόνο ένα μικρό μέρος ενός τεράστιου και πραγματικά ενδιαφέροντος θέματος; Ας αποκαλύψουμε μερικές λεπτομέρειες.
Τι είναι ένα πλήρες τετράγωνο
Τέλειο τετράγωνο είναι ένας ακέραιος αριθμός που είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου. Με άλλα λόγια, ένα τέλειο τετράγωνο είναι το γινόμενο δύο ίσων ακεραίων. Με βάση τον ορισμό, η τετραγωνική ρίζα ενός πλήρους τετραγώνου λαμβάνεται πλήρως, επομένως η γεωμετρική ενσωμάτωση ενός πλήρους τετραγώνου είναι η περιοχή ενός τετραγώνου με μια πλευρά που εκφράζεται ως ακέραιος αριθμός ίση με την τετραγωνική ρίζα του αρχικού πλήρους τετραγώνου.
Για μια πιο ακριβή αποκάλυψη του θέματος, ας θυμηθούμε τον ορισμό των ακεραίων. Ακέραιοι ονομάζονται όλοι φυσικοί (χρησιμοποιούνται για την μέτρηση αντικειμένων) και οι αντίθετοι αριθμοί τους και μηδέν. Συνεπώς, το σύνολο των ακεραίων δεν περιλαμβάνει πεπερασμένα ή άπειρα κλάσματα και μιγαδικούς αριθμούς.
Παραδείγματα τέλειων τετραγώνων είναι, για παράδειγμα, οι ακόλουθοι αριθμοί: 9 (τετράγωνο του αριθμού 3), 49 (τετράγωνο του αριθμού 7), 676 (τετράγωνο του αριθμού 26). Αλλά ο αριθμός 15 δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο ίσων ακεραίων αριθμών, επομένως δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Είναι ενδιαφέρον ότι η έννοια του τέλειου τετραγώνου μπορεί να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει, για παράδειγμα, ρητούς αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα πλήρες τετράγωνο είναι ένα κλάσμα, το οποίο είναι ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων.
Σχετικά με τους σγουρούς αριθμούς
Ένα πλήρες τετράγωνο είναι το πιο συνηθισμένο παράδειγμα κλασικού εικονιστικού αριθμού, δηλαδή ενός αριθμού που μπορεί να εκφραστεί γραφικά χρησιμοποιώντας γεωμετρικά σχήματα. Η έννοια των εικονιστικών αριθμών προέκυψε, σύμφωνα με τους ερευνητές, ήδη από τον 6ο-4ο αιώνα π.Χ. και σχετίζεται άμεσα με τους Πυθαγόρειους. Οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι έμαθαν την άλγεβρα, βασιζόμενοι σε μεγάλο βαθμό σε γεωμετρικά θεμέλια, έτσι οι φυσικοί αριθμοί συσχετίστηκαν με ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο και στο διάστημα. Στην πραγματικότητα, το ίδιο το όνομα "πλήρες τετραγωνικό" οφείλει την εμφάνισή του σε αυτή τη συγκεκριμένη προσέγγιση στη μελέτη των μαθηματικών.
Οι αριθμοί γενικεύονται παραδοσιακά σε πολυδιάστατους χώρους. Για παράδειγμα, σε ένα επίπεδο, οι σγουροί αριθμοί συσχετίζονται με πολύγωνα σύμφωνα με ορισμένους κανόνες και στον τρισδιάστατο χώρο συνδέονται με διάφορα πολύεδρα.
Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν μεγάλη σημασία και μεγαλείο στην έννοια των σγουρά αριθμών, έτσι γνωστοί αρχαίοι μαθηματικοί όπως, για παράδειγμα, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός, ο Υψικλής της Αλεξάνδρειας και ο Ερατοσθένης ο Κυρήνης ασχολήθηκαν με τη μελέτη τους. Ολόκληρες επιστημονικές εργασίες και μελέτες αφιερώθηκαν στην κατανόηση και τη δόμηση της θεωρίας των σγουρά αριθμών. Αποσπάσματα λοιπόν από το βιβλίο του Διόφαντου Αλεξανδρείας «Περί πολυγωνικών αριθμών», που γράφτηκε, σύμφωνα με ορισμένες εκτιμήσεις, τον 3ο αιώνα π.Χ., έχουν διασωθεί ως την εποχή μας.
Παρεμπιπτόντως, οι σγουροί αριθμοί δεν ενδιέφεραν μόνο τους αρχαίους μαθηματικούς. Πολλοί μαθηματικοί του Μεσαίωνα ασχολήθηκαν επίσης με αυτά: Gerolamo Cardano, Fibonacci, ακόμα και οι μεγάλοι επιστήμονες της σύγχρονης εποχής - Leonard Euler, Joseph Louis Lagrange, Pierre de Fermat, Carl Friedrich Gauss.
Έτσι, το θέμα των σγουρά αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των φωτεινότερων εκπροσώπων τους - τα πλήρη τετράγωνα, έχει προσελκύσει την προσοχή των μαθηματικών από την αρχαιότητα.
